Böhrnsen syntyi 12. kesäkuuta 1949 Gröpelingenissä, joka on Bremenin työläiskaupunginosaa. Hänen vanhempansa toimivat aktiivisesti SDP:ssä ja ammattiliitoissa. Hänen isänsä oli Gustav Böhrnsen (alun perin kommunisti mutta kääntyi sosiaalidemokraatiksi), joka oli myös SPD:n poliitikkoja ja toimi puheenjohtajana SPD-ryhmittymässä Bremenin parlamentissa vuosina 1968–1971. Jens Böhrnsen liittyi SPD:hen vuonna 1967. Hän opiskeli lakia Kielin yliopistossa. Hän toimi asessorina Bremenin hallinnossa, sen jälkeen tuomarina 17 vuotta, ennen kuin hänet valittiin Bremenin parlamenttiin (Bürgerschaft).