Beta-jakauma
Tiheysfunktio
|
Kertymäfunktio
|
Merkintä
|
|
Parametrit
|
|
Määrittelyjoukko
|
|
Tiheysfunktio
|
|
Kertymäfunktio
|
|
Odotusarvo
|
|
Moodi
|
|
Varianssi
|
|
Vinous
|
|
Huipukkuus
|
|
Entropia
|
|
Momentit generoiva funktio
|
|
Karakteristinen funktio
|
(katso hypergeometrinen funktio)
|
Fisherin informaatiomatriisi
|
|
Beta-jakauma[1] eli
jakauma[2] on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, jota käytetään bayesilaisessa todennäköisyyslaskennassa. Koska Beta-jakaumaa voi parametrisoida monella eri tavalla, sitä voidaan kutsua jakaumaperheeksi. Sen avulla voidaan esittää lähes kaikki äärelliselle välille konsentroituneet jakaumat.[1][2]
Jos satunnaismuuttuja
on Beta-jakautunut parametreillä
ja
, merkitään se yleensä
[1]
![{\displaystyle \sim \beta _{\alpha ,\beta }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dde04675aa9dbc0d33b0b3c98abbbc2421f6e3c)
Satunnaismuuttujalla
, joka on Beta-jakautunut ja jolla perusjoukko on
[0,1], on kaksi positiivista parametria
ja
. Niiden avulla Beta-jakauman tiheysfunktio määritellään
[1]
missä niin sanottu beta-funktio on
[1]
jossa
taas on gammafunktio. Beta-funktion tarkoituksena on "normalisoida" beta-jakauma niin, että sen tiheysfunktion määrätty integraali koko reaalialueen yli on tasan yksi.[3]
Toisinaan joskus parametrien arvoista vähennetään yksi (
ja
), jotta tiheysfunktion ja momenttifunktion kaavat yksinkertaistuisivat hieman.[4]
Beta-jakauman tiheysfunktiolla on seuraavanlaisia ominaisuuksia:[1]
kaikilla ![{\displaystyle x\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a15936df283add394ab909aa7a5e24e7fb6bb2)
- Jos
ja
, niin
on aidosti kasvava ja sen maksimikohta on välin päätepisteessä ![{\displaystyle x=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c68848dcaa8574feb04951e71070f80b77f752)
- Jos
ja
, niin
on aidosti vähenevä ja sen maksimikohta on välin päätepisteessä ![{\displaystyle x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71320d636c7a43546bf4e94edb94649c5b2e82b9)
- Jos
ja
, niin
on yksihuippuinen ja sen maksimikohta on välin sisäpisteessä ![{\displaystyle x={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaed5f9c40c69a789cd187dd7cd1ca31933dd88c)
- Jos
ja
, niin
on U:n muotoinen ja sillä on lokaalit maksimikohdat on välin päätepisteissä
ja ![{\displaystyle x=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c68848dcaa8574feb04951e71070f80b77f752)
on symmetrinen, jos ![{\displaystyle \alpha =\beta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/322e06d288a0867ad6c08bf3dc2abaf5a0433855)
Beta-jakauman kertymäfunktion lauseketta ei ole mahdollista kirjoittaa eksplisiittiseen muotoon, koska sen tiheysfunktion integraalifunktiota ei voi kirjoittaa lausekkeeksi alkeisfunktioiden avulla. Ne onkin tapana esittää vain numeerisessa muodossa aivan kuten toimitaan normaalijakaumassakin.[1]
Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio saadaan määritelmästä
![{\displaystyle M(t)=E(e^{tX})={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}\int _{0}^{1}e^{tx}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec6f464a7294124e63ef6d655175d1beac8432be)
Sen avulla voidaan määritellä origomomentit ja keskusmomentit. Origomomenttien yleinen muoto on
[4]
ja koska gammafunktiolla on
, siitä saadaan ensimmäiset momentit
![{\displaystyle E(X)=E(X^{1})={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +1)}{\Gamma (\alpha +\beta +1)\Gamma (\alpha )}}={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\alpha \Gamma (\alpha )}{(\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha )}}={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ccfd4691e9b970ffa1eaf3f7fe8ae8b53b01472)
ja
![{\displaystyle E(X^{2})={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +2)}{\Gamma (\alpha +\beta +2)\Gamma (\alpha )}}={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )(\alpha +1)\alpha \Gamma (\alpha )}{(\alpha +\beta +1)(\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha )}}={\frac {\alpha (\alpha +1)}{(\alpha +\beta )(\alpha +\beta +1)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/873338befc7ab75020ce5665cefdc9220fdcc778)
Keskusmomenttien yleinen muoto on
![{\displaystyle \mu '_{n}=E((X-\mu )^{n})=\left(-{\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\right)^{n}\cdot {}_{2}F_{1}\left(\alpha ,-n;\alpha +\beta ;{\frac {\alpha +\beta }{\alpha }}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb08bd929ed816c2a495b85b4e0729f7bc00f08)
missä
on hypergeometrinen funktio.[4]
Ensimmäinen origomomentti voidaan laskea myös suoraan
![{\displaystyle ={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}\int _{0}^{1}x^{\alpha }(1-x)^{\beta -1}\,dx={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}B(\alpha +1,\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f3a8b6be6617716ec4f54e90c789fafa0157c1)
[1]
Jakauman odotusarvo saadaan ensimmäisestä origomomentista
[4]
Sen varianssi on taas suoraan toinen keskusmomentti
[3][4]
Jakauman tiheysfunktion vinous määritetään kahden keskumomentin avulla
[3][5][4]
Vinous on nolla, mikä näkyy tasajakauman tiheysfunktion kuvaajasta, joka on täysin symmetrinen.
Jakauman huipukkuus määritetään kahden keskusmomentin avulla
[3][6][4]
Negativinen huipukkuus näkyy tiheysfunktion kuvaajassa siten, että kuvaaja on "tasa- ja litteäpäinen" eikä terävää kärkeä esiinny ollenkaan.
Jakauman moodi sijaitsee välin [0,1] sisäpisteessä, kun
ja
![{\displaystyle Mo={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f383ee891d58834ad567fc37f3b422092a44ee7)
Jos
tai
voi moodi sijaita välin päätepisteessä. Kun
on jakauma tasajakauma ja kaikki pisteet ovat moodi.[3]
Tarkastellaan toistokoetta, jonka yksittäisen kolikonheiton arvoksi voi tulla vain "kruuna" tai "klaava" todennäköisyyksillä
ja
. Heittojen kokonaismäärän ollessa
, noudattaa saatujen kruunujen yhteismäärät
binomijakaumaa
. Jos halutaan selvittää "kruunan" todennäköisyyttä
, kun saadaan
"kruunaa", on se Beta-jakautunut
.[7]
Edellinen ongelma on perinteisesti ratkaistu käyttäen normaalijakaumaa, mutta Beta-jakauma antaa silloin oikean tuloksen, kun se määritellään
![{\displaystyle p\sim Beta(k+1,n-k+1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a136c1d1f29cd7b855dc477e689e405d517d7256)
Normaalijakauma antaa harhaisen tuloksen, mikäli toistojen lukumäärä
on pieni ja suhde
on lähellä arvoa 0 tai 1.[7]
Beta-jakaumaa tulisi käyttää normaalijakauman sijasta approksimoitaessa binomijakaumaa epäsymmetrisissä tiheysjakauman tilanteissa. Esimerkiksi epäsymmetrisessä ja kahta arvoa antavassa satunnaistapauhtumassa kannattaa käyttää diskreetin binomijakauman approksimoimiseksi jatkuvaa Beetta-jakaumaa. Yleensä binomijakaumaa approksimoidaan normaalijakaumalla, mutta se ei toimi kunnolla, kun toista arvoa esiintyy tuntuvasti enemmän kuin toista.[7]
Beta-jakaumaa voidaan käyttää arvioitaessa tasajakaumien
arvoja. Arvotaan n satunnaismuuttujalle
arvot
. Arvot lajitellaan suuruusjärjestykseen, jolloin arvo merkitään uudella tavalla
kun se on järjestyksessä i:nnes. (eli
<
< ... <
). Silloin arvo
kun
.[8]
Beta-jakaumasta saadaan tasajakauma, mikäli parametrit ovat molemmat yksi
[2]
- ↑ a b c d e f g h Mellin, Ilkka: Todennäköisyysjakaumat, s. 407−410, luentomonisteesta Todennäköisyyslaskenta, Aalto-yliopisto, 2006
- ↑ a b c Rahiala, Markku: Satunnaismallien teoria (Arkistoitu – Internet Archive), s. 21−22, Oulun yliopisto, 2002
- ↑ a b c d e Johnson, Paul & Beverlin, Matt: Beta Distribution, 2013
- ↑ a b c d e f g Weisstein, Eric W.: Beta Distribution (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ Weisstein, Eric W.: Skewness (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ Weisstein, Eric W.: Kurtosis (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ a b c Stich, Slater: Use the Beta Distribution
- ↑ Laurent, Stéphane: The Beta distribution also appears as an order statistic...
Diskreettejä jakaumia
|
|
Jatkuvia jakaumia
|
|
Moniulotteisia jakaumia
|
|